Les divisions de l'impossible.

[Valguard Profil]

imaginez: une bille est en face d'un mur: 1 mètre de distance. Divisons pas 2 la distance: 50 centimétres, la boule se rapproche: elle n'est plus qu'a 50 centimètres du mur. Et bien, comme une division ne pourra jamais être égale à zéro, vous diviserez à l'infini, pendant toute votre vie et dans l'éternité, la distance entre la bille et le mur ne sera jamais égale à zéro. Autrement dit: la bille se rapprochera indéfiniment du mur sans jamais le toucher!
Comment concevoir qu'un objet puisse se rapprocher à l'infini d'un autre, sans que à un moment quelconque il le touche? Si on fait confiance aux divisions, la bille ne s'arrêtera jamais de se rapprocher du mur. Mais elle ne le touchera jamais... Etonnant non?

[chloro Profil]

Mais ce n'est juste un problème mathématique en fait?
Si on ajoute à ça la physique, il y a nécessairement "contact", non?

[Valguard Profil]

Pas forcément, puisque la distance en centimètres, mètres etc... représente la distance réelle en fait (elle est quantifiable): imaginez simplement que quand vous divisez la distance vous rapprochiez la bille du mur, en mesurant cette distance: vous allez la rapprocher de 50 cm, 25cm etc... suivant le résultat, vous n'arrêterez pas de la rapprocher, et ce , à l'infini! (biensûr, à un moment donné, il vous faudra peut être un microscope, lol.)

[chloro Profil]

Est-ce que, du coup, il existe une définition, je ne sais pas, un "consensus" scientifique pour définir justement la notion de contact, peut-être une distance minimum infime?
Tiens d'ailleurs, j'aimerai bien savoir si du coup la notion de "contact" est une réalité ou une sorte d'abus de langage.
Merci pour cette réflexion par ailleurs, je trouve assez fascinant.

[Londinium Profil]

Bonsoir,

Il y a ici un article qui pourra sûrement vous répondre : [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Zénon[/url] (au paragraphe Paradoxe de la dichotomie).

[Valguard Profil]

Merci pour le lien: c'est le paradoxe de la dichotomie. Comme quoi les mathématiques ne reflètent pas forcément la réalité, même si on modélise celle-ci avec.

[Sycron Profil]

J'avais lu cette curiosité mathématique, c'est vrai que ca ma laissé songeur. Mais comme l'a dit Valguard, les mathématique sont parfois à coté de la plaque !

Mais quand on réfléchi bien à la chose, la bille ne touchera jamais le mur de toute manière. Comme notre doigt ne touche pas fondamentalement le clavier lorsque l'on presse une touche. Au niveau atomique, il y'a seulement répulsion des atomes de la bille par celles du mur via électromagnétisme. Aucun contact directe de "matière"

Mais la c'est encore autre chose, mais c'est assez marrant d'en prendre conscience !

[Sinthome Profil]

Bonjour,

Dans le même ordre d’idée, il y a le paradoxe de la poussière de Cantor.
En géométrie on retrouve ce type de propriétés avec les fractales, terme inventé par le mathématicien Benoît Mandelbrot.

Il est l’auteur d’un article célèbre : « Combien mesure la côte de la Bretagne ? », où il montre que toute côte possède, en un certain sens, une longueur infinie.
En effet, tout dépend de l’échelle choisie pour la mesure. Un observateur situé dans un avion percevra peu de détails, et la longueur qu’il mesurera sera moins importante que celle observée et mesurée par un randonneur. Mais, même pour le randonneur il s’agit encore d’une estimation qui sera moins précise que celle faite à l’échelle d’un escargot explorant chaque galet par exemple. À l’échelle d’une fourmi on obtiendrait un résultat encore plus fin, davantage encore à l’échelle de la bactérie, et ainsi de suite... Mandelbrot a montré que lorsque l’échelle de mesure diminue, la longueur de la côte tend à croître infiniment. Le flocon de Von Koch en est la parfaite illustration.

[nicolovesalex Profil Site internet]

Bah je saisi pas trop le truc moi.
En tous cas, il faudrait, pour que la bille ne touche jamais le mur, que sa taille diminue proportionnellement à son rapprochement du mur.
Parce que si tu imagines une bille de 1cm de diamètre, il y aura forcément une distante inférieure à son diamètre, du coup la bille touchera le mur.

Non?

[Furien Profil]

Ce que je ne comprends pas c'est le rapprochement division et déplacement. La bille ne le rapproche pas du mur par division mais par soustraction, la division elle ne servira dans ce cas-ci plutôt qu'a évaluer la moitié de la distance entre le mur et la bille par exemple.

Ça n'a pas beaucoup de sens en fait.

[Sinthome Profil]

Bah je saisi pas trop le truc moi.
En tous cas, il faudrait, pour que la bille ne touche jamais le mur, que sa taille diminue proportionnellement à son rapprochement du mur.
Parce que si tu imagines une bille de 1cm de diamètre, il y aura forcément une distante inférieure à son diamètre, du coup la bille touchera le mur.

Non?

C’est un raisonnement exact si l’on prend comme référence un point qui se situerait au centre de la bille pour effectuer cette mesure. Mais pour valider l’exemple on imagine qu’il s’agit de la distance séparant un point du mur (point appartenant à son « plan » pour être précis) d’un point se situant à la surface de la bille (on réduit ainsi le système à une seule dimension pour simplifier, celle d'un segment formé par deux points).

Ce que je ne comprends pas c'est le rapprochement division et déplacement. La bille ne le rapproche pas du mur par division mais par soustraction, la division elle ne servira dans ce cas-ci plutôt qu'a évaluer la moitié de la distance entre le mur et la bille par exemple.

Ça n'a pas beaucoup de sens en fait.

C’est parce que c'est une tautologie. « Diviser la distance par deux » et « soustraire la moitié de la distance » sont identiques.

[dgessy Profil]

De toute façon il n'y a jamais contact entre deux objets.l'extérieur de chaque objets est composé d'electron de charge négatif;et deux charges négatif se repousse alors au niveau quantique il n'y a pas de contact si je ne me trompe pas.

[Skyller Manza Profil]

Ce qu'il faut comprendre dans ce paradoxe... C'est que si tu divise la distance par deux... Tu divise aussi le temps que ton point met pour parcourir cette distance... Donc pousser a l'extreme... On a un point qui parcours une distance infiniment petit... Mais pas eternellement... En un temps infiniment court...
Donc le contact aura lieux si on augmentent l'échelle de temps...

[Arkayn]

Il n'a pas été question de parcours dans cette division. Donc le temps n'a rien à faire là-dedans.

Et de toutes façons, même si on mêlait le temps à cette affaire, il n'y aurait pas contact. On irait tout juste plus vite vers l'infiniment petit

[thelinekioubeur Profil]

La solution est simple.

Notons v la vitesse de la bille en m/s.

La bille parcours donc la moitié d'un mètre en /2v secondes
puis elle parcourra la deuxième moitié (donc le quart d'un mètre) en 1/4v secondes.
La la première moitié plus le quart qui suit (soit 3/4m) en 1/2v + 1/4v s.
En itérant n fois, on a que la bille parcours les n premières moitié du mètre (soit (2^n-1)/(2^n) mètres) en "somme de 1/(2^i)v secondes, pour i variant de 1 à n.
cette somme est égale (2^n-1)/(2^n)v. (ça se démontre bêtement par récurrence).
or cette suite tend vers 1/v lorsque n tend vers l'infini.

On obtient donc que la bille parcours finalement ce mètre en 1/v secondes, ce qui correspond tout à fait aux lois de la physique.

[Skyller Manza Profil]

Il n'a pas été question de parcours dans cette division. Donc le temps n'a rien à faire là-dedans.

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Je ne comprend pas vraiment... Si on parle du déplacement d'un point qui se raproche d'un plan... Un mur par exemple... On a forcement, quelque soit la vitesse de raprochement du point, un rapport de temps jusqu'au contact, ou jusqu'à une distance infime.
Or si on divise la distance par deux, on doit aussi diviser aussi le temps par deux.
Formule: Distance = Temps x Vitesse
Si la vitesse est constante, et c'est le cas, et que l'on veut reduire la distance de moitié... On est obligé de respecter la formule et de diviser le temps par deux.

Au niveau physique, mes compétences s'arretent au bac Scientifique... Je ne sait pas si il y a une erreur dans ma démonstration, mais si c'est le cas, j'aimerais comprendre car selon moi, un objet avancant vers un autre finis par le toucher, ou à s'en raprocher suffisament près pour interagir avec...
Diviser la distance par deux consiste à réduire la fenetre "espace-temps" à travers laquelle on étudie le mouvement...

[Arkayn]

Tu raisonnes en terme de déplacement. Or, ce n'est pas de cela qu'il s'agit.

Imagine plutôt une série de clichés. On fait poser une bille à un mètre du mur. Photo. Maintenant, la bille va se placer à 50 centimètres. Photo. La bille bouge à nouveau. Photo...

Et ainsi de suite. Le calcul mathématique est cette série de photos. Il n'y a pas un mouvement (ou un film) mais une série de clichés pris à l'intervalle de temps de notre choix.

[thelinekioubeur Profil]

Dans ce cas, si l'intervalle de temps est régulier la bille n'atteint jamais la destination effectivement. Car elle est en fait de plus en plus lente, et la vitesse tend vers zéro.

[Valguard Profil]

Dans ce cas, si l'intervalle de temps est régulier la bille n'atteint jamais la destination effectivement. Car elle est en fait de plus en plus lente, et la vitesse tend vers zéro.

Mais ne sera jamais égale à zéro...
La bille ira infiniment plus lentement mais elle se déplacera toujours, à l'infinie.

[Soldat Inconnu Profil]

Dans le cas d'une bille, elle va finir par toucher.
Parce que c'est le point de contact au sol qui est traité, à partir du moment ou l'objet ne subit pas de division de taille proportionnelle, cela veut dire qu'il possède des limites d’interactions.
Il y aura un niveau de division maximum et non infini.
Si on continue à diviser la distance, on va en fait diviser la "base" en multitude de supports, la bille ne va plus bouger pour autant, la physique l'emportant sur les mathématiques.
Maintenant c'est juste ma vision bien sûr.

[blad Profil]

Je pense que c'est le référentiel qui mets en défaut, on imagine au premier abord que la bille se déplace, mais comme l'a dit Arkayn, ce ne sont que des états stationnaires.
Effectivement Soldat Inconnu, si l'on considère la distance entre le mur et le point de contact avec le sol de la bille, et que l'on considère la bille et le mur comme des solides, on pourrait dire qu'à un moment elle va toucher le mur, quand X (distance bille-mur) sera inférieure au rayon de la bille. Mais si on considère le point de la bille le plus proche du mur, donc distance entre deux solides, et qu'on divise à chaque fois cette distance par 2, effectivement elle se rapprochera indéfiniment sans jamais toucher le mur.

[Petite-Fée Profil]

C'est comme l'attaque "Quart" de l'invocation Nosferatu dans Final Fantasy, "en gros"...il divise par 4 tes Points de Vie mais ne te tue jamais puisque tu finis à 1PV (oui, j'ai de la référence et j'essaie de "comprendre" avec ce que je connais )

[Azurangel Profil]

Oui effectivement ce sort divise par 4 tes points de vie. Du genre tu passes de 1000 a 250 hp. Le seul problème c'est qu'en général, le monstre enchaine avec un gros sort qui t'achève.

Mais bon le jeu n'est pas stupide lui et la plupart du temps ce genre de sort n'est pas utiliser plusieurs fois de suite sans rien d'autre après. Ca ne servirait à rien. Si le monstre continuait non stop à balancer uniquement QUART, on ne craindrais rien et il suffirait de taper comme un malade jusqu'à la fin du combat.

La c'est pareil. Qui serait assez bête pour diviser à l'infini ? Quel serait le but ? A la fin plus rien ne change, c'est tellement infime qu'on ne voit plus le changement.

Je me souviens que quand j'étais en CM2 j'avais tenter une division comme ça et c'était frustrant car ça ne s'arrêtait jamais. Bon la prof à fini par me faire arrêter. Y'avais plus de place sur mon ardoise. Ok tout le monde s'en fiche mais c'était la petite anecdote du jour.

[Jedann Profil]

Bonjour,
La question de départ étant :
Comment concevoir qu'un objet puisse se rapprocher à l'infini d'un autre, sans que à un moment quelconque il le touche ?

Je pense que c'est une question - piège, du genre que je pose à mes élèves : Où le cheval a - t- il ses yeux, sur le côté ou sur le devant de sa tête ? ( Réponse : in nu'l in ertua'l, siam rus elgna'l (lire en miroir).

La bille et le mur sont concrets mais la distance est mathématiquement abstraite (espace-temps) d'où le piège de la question.